Matematikusok és a zene

A zene és a matematika kapcsolata rendkívül érdekes és izgalmas kérdés. A matematika az emberi tudás legkifinomultabb, a tökéletest leginkább megközelítő, abszolút igazságainak lenyomata – a zene pedig a humán értékek közlésének legkifinomultabb, a tökéletest leginkább megközelítő formája. Mindkettő egy sajátos, univerzális nyelv, melyet anyanyelvi hovatartozástól függetlenül értünk. Sokunkban felmerült már, hogy vajon mi a kapcsolat köztük, hogyan lehetne megtalálni a közös gyökereket. Nos, ez a kérdés nem csak az átlagembereket, hanem az emberiség legnagyobb koponyáit is foglalkoztatta a történelem folyamán.

Ahogyan korábban láttuk, a természettudományokkal foglalkozó nagy elmék életében a zene mindig is kitüntetett szerepet játszott. Talán ennél is érdekesebb a matematikusok és a zene kapcsolata (vigyázat, a matematika nem természettudomány!). Sok nagy matematikus próbálkozott meg a zene és a matematika közötti kapcsolat tisztázásával, mások viszont egyszerűen csak szenvedélyesen rajongtak érte, és az isteni közlés formájának tekintették.

Ismét valamiféle különös rokonságra utal az a megfigyelés is, hogy a zene és a matematika az a két terület, ahol a kiemelkedő tehetség – néhány egészen ritka kivételtől eltekintve – vagy egészen ifjú gyermekkorban jelentkezik, vagy soha. A szorgalom természetesen elengedhetetlen mindkét terület eredményes műveléséhez, de pusztán szorgalommal komoly eredményt nem lehet elérni.

Mielőtt rátérnénk néhány nagy matematikus kifejezetten zenével kapcsolatos nézeteire, állítsunk párba két idézetet. Norbert Wiener, a XX. század egyik legnagyobb matematikusa mondta, hogy a „matematika legalább annyira művészet, mint tudomány”. S milyen szépen rímel erre az egyik legnagyobb élő zenész, Pierre Boulez mondása: „a zene legalább annyira tudomány, mint művészet”.

És most, a korábbiakhoz hasonlóan, ismerkedjünk meg néhány nagy, a zenével szoros kapcsolatban álló tudóssal a matematika területéről.

Marin Mersenne (1588–1648)

Francia szerzetes, matematikus és fizikus. Egészen kisgyermek kora óta nagy érdeklődéssel figyelte környezetét, igyekezett minél nagyobb ismeretanyagot felhalmozni. Nyelvtant, majd tudományokat és filozófiát tanult. Később komoly teológiai tanulmányokat is folytatott, és ennek befejeztével oktatni kezdett. Később pap lett a Place Royale kolostorban. Vallásos nézetei sokszor összeütközésbe kerültek saját és mások tudományos eredményeivel. Teológiai ismereteire hivatkozva kritizálta Descartes-ot és Galileit is. Nagy érdeme, hogy korlátain később sikerült felülemelkednie, olyannyira, hogy Galilei egyik leglelkesebb támogatója lett. A kor kiemelkedő tudósaival folyamatosan tartotta a kapcsolatot, még vitanapokat is szervezett egymás eredményeinek megosztása illetve a viták tisztázása érdekében. Úgy gondolta, hogy a matematika mindennek az alapja, anélkül a tudomány nem is létezhet. Az elsők között volt, akik megpróbálták a tudomány minden területét visszavezetni a matematikára. A geometriai alakzatok közül a kör került erőteljesen figyelme középpontjába, több értekezést is írt róla (Quaestiones in Genesim, 1623; Synopsis mathematica, 1626; Questions inouyes, 1634). A számelméletben is maradandóan tevékenykedett, a Mersenne-prímszámok (azaz a kettő prímkitevős hatványainál eggyel kisebb számok) kutatása jelenleg is folyik. A fizikában is jelentős eredményei voltak, törvényt adott a húr rezonanciájára, megmérte a hang terjedési sebességét, a barométerrel kapcsolatban is fontos vizsgálatokat végzett, de a levegő sűrűsségét is sikerült meghatároznia.

A zene rendkívül fontos volt számára, amivel tudományos szempontból is sokat foglalkozott. Zenei tanulmányokat is folytatott, a kor több hangszerén játszott. 1627-ben egy jelentős munkát jelentetett meg (L’harmonie universelle), ami többnyire zeneelméleti fejtegetéseket tartalmaz. A matematikai permutáció és kombináció fogalmát a zenében is alkalmazta, ezzel kapcsolatos eredményeit a L’harmonie universelle 1636-ban megjelent hatodik kötetében foglalta össze, melyben hat hangjegy variációival foglalkozik.

Leonhard Euler (1707–1783)

Svájci fizikus és matematikus, minden idők egyik legnagyobb tudósa, igazi polihisztor. Tudományos tevékenységének rövid bemutatása jelen keretek között még címszavakra szorítkozva is csaknem lehetetlen vállalkozás, hiszen a matematikától kezdve a mérnöki tudományokon át még haditudományokkal is foglalkozott. Ma 866(!) művét tartjuk számon, amelyek között nem csak néhányoldalas cikkek, hanem sok száz oldalas, több kötetet számláló munkák is előfordulnak.

Édesapja, Paul Euler (kálvinista) lelkész volt, aki fiát is elsősorban ezen a pályán látta volna szívesen, ám ő elég korán elkezdett érdeklődni a matematika iránt, édesapja barátja, Johann Bernoulli (aki szintén a tudomány történetének nagy alakja) tanította. A matematika mellett teológiát, orvostudományt és (leginkább keleti) nyelveket tanult. Később Bernoulli sikeresen meggyőzte az apát, hogy fia tehetsége alapján nagy matematikai jövő előtt áll, így szerezte meg 19 évesen az ez irányú végzettséget. Később a fizika és a matematika professzora lett. A Szentpétervári és a Berlini Tudományos Akadémián is működött. Utóbbi megszervezésében is részt vett, és több mint két évtizeden át annak alelnöke, a matematikai osztály vezetője volt. Jelentős matematikai munkásságát többek között a számelméletben, a geometriában (sík- és térgeometria) és az analízisben fejtette ki. Talán, ha más nem, az Euler-féle szám, mint a matematika egyik legfontosabb állandója minden kedves Olvasónak ismerős a középiskolából (jele e, értéke közelítőleg 2,72).

Szabadidejében szívesen sakkozott, kiváló játékos hírében állt, ő bizonyította be, hogy a huszár szabályos lépésekkel a tábla valamennyi kockáját bejárhatja. A zenét is nagyon kedvelte, sokrétű tudományos munkássága erre a területre is kiterjedt. 1739-ben publikálta a Tentamen novae theoriae musicae című, zeneelmélettel foglalkozó munkáját, melyben a zene matematikai alapjait próbálta összefoglalni. Az egész és félhangok arányrendszerével foglalkozó elmélete szerint a hangok magasságai közötti arányok a 2, 3 és 5 hatványaival adhatók meg. Ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy minden hanghoz egy számot rendelt (frekvenciája szerint), melyek az előbbi számok hatványaiként állnak elő.

Talán itt érdemes megjegyezni, hogy a XX. század első felének egyik legnagyobb karmestere, számos új mű bemutatója, Ernest Ansermet matematikusi végzetséggel is rendelkezett. Ő a hangok frekvenciái közötti arányokra egész filozófiai rendszert épített, a dúr és moll skálákban található természetes arányok isteni rendjére való hivatkozással utasította el a dodekafónia egész rendszerét (Ansermet: Les fondements de la musique dans la conscience humaine).

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Német matematikus, csillagász és fizikus. Gausst mindenki, mint a „matematikusok fejedelmét” ismeri. Nem véletlenül, hiszen széles körben ismert az anekdota, mely szerint a nagyon elfoglalt tanító azt a feladatot adta a tízéveseknek, hogy adják össze a számokat 1-től 100-ig, remélve, hogy ezzel lefoglalja őket egy időre. Legnagyobb meglepetésére pár perc múlva a kisgyermek Gauss már jelezte is, hogy a feladattal készen van. A tanító kételkedve kérte az eredmény levezetését a diáktól, aki készségesen bemutatta azt. Az összeadandókból párokat képzett, a számsor két végéről haladva a következő formában: 100+1; 99+2, 98+3 stb. Megfigyelte, hogy ezek összege mindig 101, mivel összesen 50 ilyen pár van, a feladat visszavezethető egy egyszerű szorzásra: 50 x 101. (Azaz, tulajdonképpen felfedezte a számtani sor összegképletét – ami ma érettségi tétel.) Az igen szegény családból származó kis Gauss nem is gondolta, hogy ennek köszönheti majd továbbtanulási lehetőségét. Ugyanis a tanító sokfelé eldicsekedett diákjával, s a hír a braunschweigi herceghez is eljutott, aki taníttatási költségeit átvállalva gimnáziumba, majd a göttingeni egyetemre járatta Gausst. Már gimnazista éveiben megsejtette a prímszámtételt, ami egy a prímszámok eloszlására vonatkozó állítás, de a bizonyítás még váratott magára, melyhez az úgynevezett komplex függvénytan eszközeire volt szükség (Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée Poussin, egymástól függetlenül, 1896). Később olyan problémákat oldott meg, amikkel korábban a legnagyobb elmék sem tudtak mit kezdeni (körosztási probléma, az algebra alaptétele, a kvadratikus reciprocitási tétel). Eredményei rögzítéséhez titkosírást dolgozott ki, melyet naplójában vezetett. A napló tanulmányozásakor derült ki, hogy Gauss már a középiskolai éveiben is szinte naponta megoldott egy-egy fontos matematikai problémát, melyekről részben megfeledkezett, részben nem volt ideje közreadni. (Bolyai Farkas 1831-ben elküldte Gauss számára fia Appendixének egy példányát. A Gausstól erre érkezett válasz igen negatív volt. Ugyanis azt írta, hogy Bolyai Jánost nem illetheti dicséret, hiszen ő már sokkal korábban hasonló eredményekre jutott, de azt nem kívánta életében publikálni. Halála után hagyatékában viszont nem találtak erre utaló bizonyítékot.) Mindössze 19 esztendős volt, amikor egy a matematikusokat 2000 éve foglalkoztató problémát oldott meg, méghozzá a szabályos tizenhétszög megszerkeszthetőségének bizonyítását (ennek emlékére sírkövén szabályos tizenhétszög alapú hasáb áll). Doktori címét 22 évesen szerezte, témája az algebra alaptételének bizonyítása volt. Két évvel később megírta az Aritmetikai vizsgálatok című művét, mely a modern számelmélet alapjait rakta le. Hat évvel később, 1807-ben a göttingeni egyetem matematikaprofesszora és a csillagvizsgáló igazgatója lett. Gausst nagyon kellemetlenül érintette, hogy a kísérleti eredményekért az obszervatóriumtól 900 méterre található fizikai intézetbe kellett rohangálnia. A problémát áthidaló megoldásként 1833-ban Wilhelm Weberrel feltalálta az elektromos távírót. Csillagászként is eredményesen ténykedett, modern módszert adott a bolygópályák kiszámítására, geodéziával is foglalkozott, de az első abszolút fizikai mértékegységrendszert is ő alkotta meg. A számológép-fejlesztés is érdekelte, ő tökéletesítette például Leibniz számológépét. 1855-ben halálhíre a hannoveri fejedelemhez is eljutott, aki emlékérmet veretett, és ezen szerepelt először „A matematikusok fejedelme” megnevezés.

Gauss rendkívül nehéz ember volt. Nem csak saját területén belül ismerte el igen nehezen mások eredményét, hanem minden egyéb témában, köztük a művészetekben is. Három kivétel volt, akikre őszinte csodálattal tekintett: Bernhard Riemann (matematikus), Beethoven és Mozart. Mozartot egyenesen „isteni zseninek” tartotta.

Bolyai Farkas (1775–1856)

Magyar matematikus. A Bolyai ősi nemesi családnév, mely még a XIV. századból ered, amikor is a család vitéz katonái érdemeinek elismeréseként kapta a bolyai várkastélyt. Farkas is Bolyán született, 1775. február 9-én, de már nem ebben a várkastélyban, ugyanis a XVII. században az egyik Bolyai János sajnos elvesztette azt, és innentől kezdve a család folyamatosan elszegényedett, így ő már csak egy kis birtokot örökölt. Matematikai tehetsége korán, 16-17 éves korában megnyilvánult, de komolyabban foglalkozott zenével, színjátszással és rajzzal is. Később a göttingeni egyetemre került, ahol megismerkedett és életre szóló barátságot kötött Carl Friedrich Gauss-szal, minden idők talán legismertebb matematikusával. 1804-től nyugdíjazásáig (1851) a marosvásárhelyi református kollégium professzora lett, ahol a matematika mellett fizikát és kémiát is tanított. Életét és tehetségét Eukleidész V. axiómájának bizonyítására tette fel, amiről később kiderült, hogy abban a formában nem lehetséges. Főműve, a kétkötetes Tentamen 1832-1833-ban jelent meg – igazi nagy újdonságot nem hozott, de igen fontos, hiszen rendkívül precízen összefoglalta a kor matematikai ismeretanyagát (e munkáját Gauss is nagyra tartotta). Bolyai Farkas matematikusi tevékenységének talán legfontosabb eredménye a nem-euklideszi geometria bevezetésének előkészítése.

Rendkívüli tehetségét sokoldalúan kamatoztatta. Többek között drámákat írt, az akkoriban Erdélyben divatba jött Bolyai-kályhák és kemencék tervezője – és sokszor saját kezű összerakója – is ő volt. Sok találmánya közül érdemes megemlíteni a kerekeken álló, zsindellyel fedett „szekér-lakot”, mint a lakókocsi ősét. 1820-ban megpályázott egy erdőfelügyelői állást, és a siker érdekében jelentős erdészeti tanulmányokat folytatott. Bár az állást nem kapta meg, de e próbálkozásnak köszönhető az egyik első magyar nyelvű erdészeti szakkönyv. Bolyai a kertészetben is jeles eredményeket szerzett, több fafajta honosítása is a nevéhez fűződik.

Nagyon kedvelte a zenét, a zenei humort. Egyik kedvenc elfoglaltsága volt a kortársak és régebbi mesterek szerzeményeinek alapos, zeneelméleti tanulmányozása. Ennek kapcsán gyakran tartott zeneelméleti előadásokat, de zenei magánórákat is adott.

1856. november 20-án halt meg, kérésére sírját jeltelenül hagyták, és arra egy általa honosított pojnik almafát ültettek. Temetésén kívánsága szerint csak az „oskola csengettyűje” szólt.

Bolyai János (1802–1860)

Magyar matematikus, akinek neve – mint a nem-euklideszi geometria (egyik) felfedezőjéé – talán sokak számára ismert. János tehetsége még apjáénál is korábban megmutatkozott: hatévesen minimális segítséggel megtanult olvasni, hétéves korában már német nyelvleckéket és hegedűórákat is vett. Két évvel később apja, Bolyai Farkas matematikára kezdte tanítani. A gyermek készséggel és tehetséggel tanult, 14 évesen már jártas volt és rendkívüli könnyedséggel mozgott a felsőbb matematikában. A hegedülés is egyre jobban ment neki, már nehéz versenyműveket is játszott. Édesapja 1817 őszén Gausshoz, Göttingenbe akarta küldeni, így biztosítva további tanulmányait, de ez egy szerencsétlenül megfogalmazott levél miatt meghiúsult, ezért 1818-ban a Császári és Királyi Hadmérnöki Akadémián kezdte meg tanulmányait. Végig kitűnő tanuló volt, 1822-ben végezett, de – mint az első két legjobb tanuló egyikét – további tanulmányok céljából még egy évig ott tartották. Miután alhadnagyi rangot szerzett, beosztották Temesvárra. 1823. november 3-án édesapjának címzett levelében írta: „semmiből egy ujj más világot teremtettem” (nem hiba, az akkori helyesírás szerint így írták!). Ez cseppet sem túlzás, ugyanis diákévei alatt az abszolút és a hiperbolikus geometria alapjait fektette le. Appendix című munkája 1831-ben jelent meg. Még ebben az évben megírta a komplex számok elméletét megalapozó munkáját, de ezt csak 1837-ben vette újra elő, amikor egy e témára kiírt pályázatot próbált megnyerni, sajnos sikertelenül. Legnagyobb meglepetésére 1848-ban kezébe került egy Lobacsevszkij nevű orosz matematikus 1840-ben készült dolgozata, mely az Appendixben foglaltakkal igen hasonló eredményeket tartalmazott. Először arra gyanakodott, hogy meglopták, majd a dolgozat alapos tanulmányozása után világossá vált számára, hogy egymástól függetlenül jutottak hasonló eredményekre.

Bolyai János munkássága valóságos forradalmat indított el a matematikában, mely a modern matematika és fizika számára meghatározó volt. Az Eukleidész V. axiómájával való foglakozástól édesapja óva intette, hiszen annak bizonyítására ő maga az életét tette fel. Nem is sejthette, hogy eközben fia egy olyan rendszert dolgozott ki, mely független az V. axiómától, azaz eredményei a párhuzamosságra vonatkozó minden feltevés nélkül is érvényesek (erre utal az abszolút geometria elnevezés). Ezzel olyan jelentősen kiszélesítette a geometria horizontjait, hogy alapjául szolgálhatott a XX. század nagy fizikai forradalmának, így a relativitáselméletnek is.

Kiváló hegedűjátékosként egész életét végigkísérte a zene. Nagyon szeretett virtuóz darabokat játszani, de a hegedülés nem csak szórakozás, hanem valóságos lételem volt számára. Nemcsak kiváló matematikusként és hegedűjátékosként, hanem legalább olyan jó vívóként is ismerték. Egyszer 13 lovastiszt kihívta őt párbajra, mindegyik kihívást elfogadta, de azt a feltételt szabta, hogy két-két párbaj között játszhasson a hegedűjén. Ebbe a kihívók belegyeztek, s ő mindegyik párbajt megnyerte.

Farkas Gyula (1847–1930)

Magyar fizikus és matematikus. 1866-ban a pesti tudományegyetemen jogi tanulmányokba kezdett, de később, Jedlik Ányos hatására érdeklődése a fizika felé fordult, és átiratkozott a természettan-vegytan szakra. 1874 és 1880 között sikerült eljutnia Franciaországba és Olaszországba, ahol több nagy matematikussal is kapcsolatba került, akiknek hatására tudományos érdeklődése újabb nagy fordulatot vett – a matematika irányába. 1881-ben matematikai doktorátust és magántanári képesítést szerzett. A pesti egyetemen kezdett matematikát és függvénytant tanítani. 1887-ben a kolozsvári egyetem elméleti fizikai tanszékének vezetője, majd hét alkalommal a kar dékánja lett. Később az egyetem rektorává is kinevezték – itt 1915-ig, nyugdíjazásáig dolgozott. 1898-ban az MTA levelező, majd – nyugdíjazása előtt egy évvel – rendes tagja lett. Jelentős szerepet vállalt Bolyai János életművének népszerűsítésében, akinek egyik megoldását ő nevezte el Bolyai-algoritmusnak. Amikor az elméleti fizika professzora és tanszékvezető lett, szinte teljes egészében abbahagyta matematikai munkásságát, és fizikai problémákkal kezdett foglalkozni. Az elméleti fizika területén is sok érdeme van, több fogalom és eljárás tisztázása, pontosítása mellett új elvek alkalmazását is lehetővé tette. Előadásaira és tudományos munkáira jellemző volt a rendkívüli tömörség és elegancia.

Életét a zene és a zongora szeretete kísérte végig. Gyermekkorában zongorázni tanult, később zeneelméleti cikkei jelentek meg. 1866-ban a jogi karra való jelentkezéssel egy időben felsőbb zongoraiskolába is iratkozott. Mivel társait sokkal tehetségesebbnek tartotta, ezért komolyabban nem folytatta zongoratanulmányait. Egy átmeneti időszakban (1870–74) a székesfehérvári reáltanoda tanára lett, ahol zeneoktatást is szervezett. Zongoratanulmányai korai befejezése ellenére továbbra is adott koncerteket, többek között Tolnán, Székesfehérvárott és Nizzában is fellépett. Általában szép sikerei voltak, sok pozitív visszajelzést kapott.

Fejér Lipót (1880–1959)

Eredeti nevén Weisz Lipót, magyar matematikus. Nos, az ő esetében nem lehet úgy kezdeni az ismertetést, hogy „tehetsége igen korán megmutatkozott”, legalábbis nem egészen így történt. Lipót igen eleven gyerek volt, akinek nehezen ment a tanulás, főleg a matematika okozott gondot számára. Aztán a felsőbb osztályokba lépve gyökeres változás történt. A gyermek tanára, Maksay Zsigmond hatására egészen megszerette a matematikát. Később a Középiskolai Mathematikai Lapok feladatainak rendszeres megoldója lett, és itteni tanulóévei alatt két kiemelkedő díjat is elnyert. 1897-ben, a pécsi érettségi után a budapesti Műegyetem gépészmérnöki karára iratkozott, de itt csak fél évet töltöt, és átiratkozot a Tudományegyetemre, ahol tanári szakon (matematika és fizika) többek között Eötvös Lóránd előadásait is hallgatta. 1899-ben a berlini egyetemre került, ahol a harmadévet kezdte meg. Itt sok, nagy matematikus volt rá jelentős hatással, köztük Hermann Amadeus Schwarz is, akinek előadásai fordították figyelmét az úgynevezett Fourier-sorokra. (A Charles Fourier francia matematikusról elnevezett sorok a matematika legfontosabb objektumai közé tartoznak. Gyakorlati jelentőségük is óriási, többek között az „orvosi MR”-vizsgálatok bámulatos felvételei is ezeknek köszönhetőek.) A Fourier-sorok Fejér egész további életében meghatározóak lettek, legnagyobb eredményeit ebben a témakörben érte el. Mindössze húsz esztendős volt, amikor 1900-ban a Fourier-sorok új összegzési eljárását publikálta, ezzel letéve a trigonometrikus sorok modern elméletének alapjait. 1902-ben egyszerre szerezte meg tanári oklevelét és doktori címét. Utóbbinak a két évvel korábbi eredmények szolgáltak alapjául. 1904-ben visszatért Magyarországra, 1905-ben Kolozsvárra került, 1906-ban adjunktussá nevezik ki. 1908-ban, mindössze 28 évesen az MTA levelező tagjává választja. 1911-re Kolozsváron kinevezik „rendes” tanárrá, de Eötvös Lóránd közbenjárására meghívást kap a budapesti egyetemre, amit elfogad, és haláláig itt dolgozik. 1930-ban, életének ötvenedik évében az MTA rendes tagjának választotta, de kitüntetéseinek sorát többek között A francia becsületrend lovagja cím is gazdagította. Sok, kiemelkedő eredményt ért el, melyek nemcsak a matematikai analízis, hanem az elméleti fizika és az elméleti kémia számára is lapvető fontosságúak.

Fejér Lipót csodálatos ember volt, aki csak ismerte, személyiségének varázsa alá került. Szó szerint imádta a zenét, kitűnően zongorázott. Bár nyilvánosan nem lépett fel, de összejöveteleken, külföldi tudóstársak érkezése alkalmából tartott fogadásokon szívesen játszott, főleg a bécsi klasszikusok műveiből.